FUNCIONES

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Una función es un tipo especial de relación entre elementos de dos conjuntos, un conjunto inicial llamado dominio y un conjunto final llamado imagen, una función asigna a cada elemento del dominio un elemento de la imagen

Función lineal:

Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos x, & y, a una de ellas la llamamos variable dependiente pues depende de los valores de la otra para su valor suele ser la y, la otra se le denomina variable independiente y suele ser la x.

Función  cuadrática


la gráfica es una parábola,

si a>0 la parábola abre hacia arriba


si a<0 la parábola abre hacia abajo

Función radical:

Una función radical es una función cuya regla es una expresión radical.

http://www.youtube.com/watch?v=itezG3RQd0w

http://www.youtube.com/watch?v=oi3inrtM7H0&feature=related

Funciones continua

De una manera intuitiva se puede decir que una función es continua cuando su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

De una manera “más formal “y teniendo en cuenta la definición de límite:

Definición.

Una función es continua en un punto a si se verifican tres condiciones:

1ª) a pertenece al dominio de f.

2ª) existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia a.

3ª) dicho límite vale f(x)

Esta definición puede resumirse diciendo: f es continua en a sí y sólo sí.

Ejemplo 9. La función f(x) = 1/x es continua en el abierto (0, , pero no en [0, , pues en 0 no está definida.                        

Operaciones con funciones continuas

Sean f y g dos funciones continuas en a:

a) f +g  y f.g son continuas en a.

b) si además g(a) ¹0, entonces f/g es continúa en a.

Si g es continua en a y f continua en g(a) entonces f_og  es continua en a.

                          

Continuidad en un intervalo

Si f es continua en x para todo x de (a, b) entonces se dice que f es continua en (a, b )

Una función es continua en un intervalo [a, b] cuando lo es en (a, b) y existen:

y

Ejemplos de funciones continuas

1º Toda función polinómica  es continua en R

2º Las funciones racionales son continuas salvo en los puntos que anulan al denominador.

3º Las funciones seno, coseno, exponenciales y logarítmicas son continua en sus dominios respectivos.

Propiedades de las funciones continuas (2 intuitivas)

- Ceros de las funciones continuas (T. Bolzano)

- Teoremas de los valores intermedios

-Acotación de intervalos cerrados.

Teorema de Weiertrars

*Ejercicio 15.

Demuestra que la ecuación x³ +5x-2 tiene al menos una solución real e indica un l intervalo al que pertenezca

Funciones discontinuas tipos

Cuando una función no sea continua se dirá discontinua y esto puede ocurrir de varias formas.

Discontinuidad evitable

Una función tiene una discontinuidad evitable, en un punto a, si existe límite de la función en el punto, a, pero o no coincide con el valor de la función, f(a), o a no pertenece al dominio de f. Es decir, verifica 2ª pero no se cumple 1º o 3ª.

Ejemplo 10. La función es discontinua en x =3, pues la función no existe en 3, pero sí existe el límite en ese punto (comprobarlo) por lo tanto la discontinuidad es evitable

Discontinuidad de 1º especie (o de salto)

Si existen los límites laterales en un punto, pero no coinciden, la discontinuidad se llama de salto. El salto (finito) es la diferencia entre estos valores (en valor absoluto). Cuando uno de los límites laterales de infinito se trata de una discontinuidad de salto infinito.

Ejemplo 11.

 a) La función signo  en x = 0 presenta una discontinuidad de salto 2, pues

     

Y el salto es 1-(-1)=2.

b) La función f(x) = 1/x es discontinua en 0 de salto infinito.

Discontinuidades esenciales de 2ª especie

Si no existe alguno de los límites laterales la discontinuidad se dice de 2ª especie, o esencial.

Ejemplo 12. Tiene una discontinuidad esencial en 0.

Es decir no existen ni los límites laterales pues “oscilan entre 1 y -1”