Interpretación geométrica de la derivada parcial
Recordemos que la gráfica de 
representa una superficie
. Si
, entonces el punto 
está sobre la superficie. El plano vertical 
interseca a la superficie en la curva 
(es decir, es la traza de la superficie sobre el plano. De manera semejante, el plano vertical 
interseca a la superficie en la curva
. Ambas curvas pasan por el punto
.
representa una superficie. Si, entonces el punto está sobre la superficie. El plano vertical interseca a la superficie en la curva (es decir, es la traza de la superficie sobre el plano. De manera semejante, el plano vertical interseca a la superficie en la curva. Ambas curvas pasan por el punto. Observe que la curva es la gráfica de la función 
de manera que la pendiente de su recta tangente
en el punto es 
La curva es la gráfica de la función 
así que la pendiente de su tangente 
en el punto es 
es la gráfica de la función de manera que la pendiente de su recta tangente en el punto es La curva es la gráfica de la función así que la pendiente de su tangente en el punto es En las ligas [Ver en 3D - LG3D], puede arrastrar el punto P sobre la curva C
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| Figura 1: derivada parcial en P respecto a x [Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview] | Figura 1: derivada parcial en P respecto a y [Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview] |
Por consiguiente, las derivadas parciales 
y pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas y en el punto, respectivamente.
y pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas y en el punto, respectivamente. Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si, entonces 
representa la razón de cambio de 
con respecto a
, cuando 
permanece fija. De manera semejante, 
representa la razón de cambio de con respecto a , cuando permanece fija.
, entonces representa la razón de cambio de con respecto a, cuando permanece fija. De manera semejante, representa la razón de cambio de con respecto a , cuando permanece fija. Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide 
y el plano
, cuando
.
y el plano, cuando. Solución
En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por
Con lo cual, la recta es: 
, pero pasa por el punto 
y así
, pero pasa por el punto y así 
En la figura 1 se muestra la recta tangente 
y la parábola 
y la parábola Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son:
La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura 2.
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| Figura 3: Tangente en P [Ver en 3D - Jview] | Figura 4: Tangente en P |
Ejemplo 8
El plano 
interseca al elipsoide 
formando una elipse. Determine las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la elipse el el punto
.
interseca al elipsoide formando una elipse. Determine las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la elipse el el punto. Solución
La ecuación define a 
implícitamente como una función de e , entonces :
define a implícitamente como una función de e , entonces : 
Con lo cual la pendiente de la recta tangente está dada por
Pero como la recta tangente pasa por el punto
, entonces
, entonces 
De donde su ecuación es:
; y sus ecuaciones paramétricas son 
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| Figura 3: Tangente en P |
Observación: si
es una función de dos variables e , entonces sus derivadas parciales y también son funciones de dos variables, de modo que podemos considerar sus derivadas parciales 
y 
, las cuales cuales se llaman segundas derivadas parciales de 
Si , utilizamos la siguiente notación : 
La notación
o 
significa que primero derivamos con respecto a y luego con respecto a, mientras que para calcular 
el orden se invierte. Ejemplo 9
Calcule las segundas derivadas parciales de 
Solución
Las primeras derivadas parciales están dadas por:
Entonces tenemos que:
Observación: note que las derivadas parciales mixtas y en el ejemplo anterior, son iguales. Esto no es una casualidad y en la mayoría de los casos prácticos se da. El siguiente teorema, descubierto por el matemático francés Alexis Clairaut (1713 - 1765), da las condiciones bajo las cuales podemos afirmar que esta igualdad se da.
y en el ejemplo anterior, son iguales. Esto no es una casualidad y en la mayoría de los casos prácticos se da. El siguiente teorema, descubierto por el matemático francés Alexis Clairaut (1713 - 1765), da las condiciones bajo las cuales podemos afirmar que esta igualdad se da. | | Teorema (igualdad de las derivadas mixtas) |
| | Sea  una función escalar donde  es un disco abierto con centro en  y radio  , entonces si las funciones y son continuas en  entonces  |
Las derivadas parciales de orden 3 o superior también se pueden definir como
y al usar el teorema de Clairaut, se puede demostrar que 
si estas funciones son continuas.
si estas funciones son continuas. Ejemplo 10
Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes físicas. Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial
Se conoce como ecuación de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan un papel fundamental en las aplicaciones relacionadas con conducción de calor, flujo de fluidos y potencial eléctrico. Compruebe que la función 
satisface la ecuación de Laplace.
satisface la ecuación de Laplace. Solución. Las primeras derivadas parciales están dadas por
Con lo cual
De donde
Ejemplo 11
La ecuación de onda
Donde
es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante.
es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante. Si y 
son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la función
y son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la función 
Satisface la ecuación de onda.
Solución
Las derivadas de 
con respecto a 
están dadas por :
con respecto a están dadas por : 
Las derivadas de con respecto atestan dadas por :
con respecto atestan dadas por : 
Sustituyendo obtenemos que
Ejemplo 12
Si y son funciones doblemente derivables de una sola variable, compruebe que la función
y son funciones doblemente derivables de una sola variable, compruebe que la función 
Satisface la ecuación diferencial parcial
Solución
Las derivadas de con respecto a están dadas por :
con respecto a están dadas por : 
Sustituyendo
Ejemplo 13
Si se dijera que existe una función 
cuyas derivadas parciales son 
y 
¿usted lo creería?
cuyas derivadas parciales son y ¿usted lo creería? Solución
Por el teorema de Clairaut, puesto que 
y 
son continuas en todo 
debieran ser iguales. Por lo tanto no existe tal función.
y son continuas en todo debieran ser iguales. Por lo tanto no existe tal función. Ejemplo 14
Una barra de metal de un metro de largo se calienta de manera irregular y de forma tal que a metros de su extremo izquierdo y en el instante
minutos, su temperatura en grados centígrados está dada por
metros de su extremo izquierdo y en el instante minutos, su temperatura en grados centígrados está dada por 
con 
Trace la gráfica de 
para
y 
para y Calcule 
y 
¿Cuál es la interpretación práctica (en términos de temperatura) de estas derivadas parciales?. Explique por qué cada una tiene el signo que tiene.
y ¿Cuál es la interpretación práctica (en términos de temperatura) de estas derivadas parciales?. Explique por qué cada una tiene el signo que tiene. Calcule
¿Cuál es su signo?. ¿Cuál es su interpretación en términos de temperatura?
¿Cuál es su signo?. ¿Cuál es su interpretación en términos de temperatura? Solución
La gráfica de las funciones 
y 
se muestran en la figura 2.
y se muestran en la figura 2. 
Figura 6
Observe que la figura nos indica la temperatura inicial en cada punto de la barra y la temperatura después de un minuto. Note que el punto más caliente de la barra en cualquier instante está a 0.5 metros del extremo izquierdo (! !).
La derivada parcial respecto a esta dada por 
y al evaluar obtenemos que
esta dada por y al evaluar obtenemos que 
Como esta derivada parcial es decreciente conforme crece y positiva para cualquier valor de 
concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de las rectas tangentes a 
son positivas y van siendo más pequeñas conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.2 metros del extremo izquierdo. El signo positivo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura aumenta.
crece y positiva para cualquier valor de concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de las rectas tangentes a son positivas y van siendo más pequeñas conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.2 metros del extremo izquierdo. El signo positivo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura aumenta. Por otro lado,
Observe que en este caso tenemos como la derivada parcial es creciente conforme crece y negativa para cualquier valor de , concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de las rectas tangentes a son negativas y van siendo más grandes conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.8 metros del extremo izquierdo. El signo negativo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura disminuye.
crece y negativa para cualquier valor de , concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de las rectas tangentes a son negativas y van siendo más grandes conforme aumenta, esto cuando estamos a 0.8 metros del extremo izquierdo. El signo negativo de la derivada nos indica que cuando vamos en la dirección del eje positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura disminuye. Las siguientes tablas de valores y la gráfica 1 nos permiten observar con claridad lo explicado ante
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La derivada parcial respecto a está dada por 
está dada por Observe que 
para 
y cualquier valor de y 
para 
y cualquier valor de lo cual nos permite concluir que la temperatura va aumentando desde cero hasta llegar a la mitad de la barra y luego va disminuyendo hasta cero, es decir, que la parte más caliente de la barra es la mitad.
para y cualquier valor de y para y cualquier valor de lo cual nos permite concluir que la temperatura va aumentando desde cero hasta llegar a la mitad de la barra y luego va disminuyendo hasta cero, es decir, que la parte más caliente de la barra es la mitad. Ejemplo 15
Las ecuaciones
Definen a
y 
como funciones de las variables independiente e . Exprese 
en términos de y . Solución
Para calcular derivemos las ecuaciones (4) respecto a
derivemos las ecuaciones (4) respecto a 
Ahora usemos la regla de Cramer para hallar
De donde
Ejemplo 16
Compruebe que la función 
satisface la ecuación diferencial de Laplace en derivadas parciales
satisface la ecuación diferencial de Laplace en derivadas parciales 
Solución
Calculemos las derivadas parciales
Y al sumar (5), (6) y (7) obtenemos el resultado deseado.
| | Definición (vector gradiente) |
| | Sea  una función escalar de dos variables, entonces el gradiente de es la función vectorial  definida por  |
Observación: si es una función escalar de tres variables su gradiente esta dado por
es una función escalar de tres variables su gradiente esta dado por 
Ejemplo 17
Si 
calcule 
calcule Solución
El gradiente está dado por:
Y evaluando
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